高三数学单元练习题:解三角形

发布时间:2017-03-17 15:08

在高三复习过程中,我们要有效的提高复习效率。下面是小编为大家收集整理的高三数学《解三角形》的单元练习题目及其参考答案。

一、选择题

1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是( )

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

答案D

2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是( )

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案B

解析由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,

∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.

3.在△ABC中,sinA=34,a=10,则边长c的取值范围是( )

A.152,+∞B.(10,+∞)

C.(0,10) D.0,403

答案D

解析∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC.

∴0

4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是( )

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案A

解析由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,

∴sin(B+C)=2sin Bcos C,

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,

∴sin(B-C)=0,∴B=C.

5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( )

A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

答案B

解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,

∴b+c4=c+a5=a+b6.

令b+c4=c+a5=a+b6=k (k>0),

则b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.

∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

6.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( )

A.1B.2

C.12D.4

答案A

解析设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π,

得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1.

二、填空题

7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=________.

答案23

解析∵cosC=13,∴sinC=223,

∴12absinC=43,∴b=23.

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,则c=________.

答案2

解析由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB,

∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b,

得A>B,∴B=30°,故C=90°,

由勾股定理得c=2.

9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=________.

答案7

解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2,

∴asinA=bsinB=csinC=2R=2,

∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.

答案12 6

解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183,

∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6.

三、解答题

11.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

证明因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,

所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.

解 设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA

⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA

⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

⇔sinAcosA=sinBcosB

⇔sin2A=sin2B

⇔2A=2B或2A+2B=π

⇔A=B或A+B=π2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

能力提升

13.在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为( )

A.45°B.60°C.75°D.90°

答案 C

解析 设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120°,

∴sinCsinA=sin120°-AsinA

=sin120°cosA-cos120°sinAsinA

=32tanA+12=3+12=32+12,

∴tanA=1,A=45°,C=75°.

14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=π4,

cosB2=255,求△ABC的面积S.

解cosB=2cos2B2-1=35,

故B为锐角,sinB=45.

所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

由正弦定理得c=asinCsinA=107,

所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

1.在△ABC中,有以下结论:

(1)A+B+C=π;

(2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;

(3)A+B2+C2=π2;

(4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2.

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