自新课程改革以来,概念教学受到越来越多的关注和重视.以强调让学生经历概念的形成过程为代表的概念教学模式不断地出现在各种各类教学研讨活动中.在一些观摩课、研讨课中发现,概念形成环节往往是教师设计教学的主阵地,也常有独到的见解.但是,笔者也发现不少教师对概念教学中的例题设计经常未能引起足够多的重视、投入应有的精力,而是认为概念教学中的例题比较简单,有些只是照本宣科,忽视了例题的典型示范作用,有些布置学生自学,完全没能挖掘例题中蕴含的数学思想、方法,有些则不切实际,盲目拔高,脱离了概念的核心,其结果自然是事倍功半.下面笔者结合自己的实践、学习和反思,就当前的概念教学中例题设计的几种常见误区以及对策做几点思考,望能与同行们共同交流、学习.

一、当前概念教学中例题设计的几种常见误区

1.重出新拔高,轻教材例题

教材中提供的例题,都是专家们经过深思熟虑后精心设计的,不仅具有典型性、示范性、科学性、指导性等特点,而且符合学生的认知规律、循序渐进,是教师实施教学的“参考蓝本”与“精品资料”.但教学实践中,我们不难发现,不少教师并不愿意采用教材中的例题,却找一些自认为的“好题”,不切实际,盲目拔高,结果适得其反.如:

案例1 在2011年4月的一次温州市名师工作室活动中,A教师在“组合”第一课时教学中,抛开了教材中的例题,设计如下例题:

例1 从全班50名同学的数学作业本中,抽选出4本检查,共有多少种不同的选法?

变式 全班50名同学的数学作业本混和在一起,然后每个人从中随意拿一本,正好有48人拿到自己的作业本,有多少种可能?

追问 正好有47人拿到自己的作业本呢?

例2 在图1所示的图形中,你能找出多少个长方形?

变式 在图2所示的图形中,你能找出多少个长方形?

这两个例题中,例1的变式与追问对刚刚接触计数原理及排列、组合知识的学生来说,显然思维跨度太大,无形中也冲淡了这节课概念的核心;而例2的设计是组合知识的灵活应用,对学生知识迁移能力要求过高,也不能很好的起到精致概念的作用.

2.重变式训练,轻概念核心

“变式”是目前例习题呈现的主要方式,它通过变更概念中的非本质特征,变换问题中的条件或结论,转化问题的形式或内容,可以帮助学生理解概念的本质属性,便于概念的应用.从心理学上讲,它是克服思维定势中消极因素的重要措施,对培养学生良好的思维品质也有积极意义.但在教学实践中,不少教师往往只注重呈现形式的变式,忽视了“变式”应围绕概念的核心展开,“变式”是应力争提示出概念的本质.如:

案例2 在2011年4月的一次温州市名师工作室活动中,B教师在“组合”第一课时教学中,设计了以下变式例题:

例题 平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?

变式1 圆上有10点,过每2点画一条弦,一共可以画多少条弦?

变式2 圆上有10点,每3点画一个圆内接三角形,一共可以画多少个圆内接三角形?

变式3 凸十边形有多少条对角线?

变式4 凸n(n>3)边形有多少条对角线?

变式5 平面内有10个点,其中4个点在一条直线上,此外无3点共线.

①这10个点可连成多少条直线?

②由这10个点中的三个点为顶点,可确定多少个三角形?

该组变式例题有丰富的情境与背景,也紧扣“组合”的特征——与元素顺序无关,但作为概念“精致”过程中的例题,只在应用环境上进行变式,没有能够通过例题揭示出“从n个不同的元素中取出k个元素的组合”的本质就是“n个不同元素组成的集合的一个k元子集”,可谓是精彩中留有遗憾.

3.重解题技巧,轻数学思想

例题是把知识(概念)、技能、方法和思想联系起来的纽带.在概念教学中它不仅有有助于进一步理解概念的内涵与处延的作用,还担负着把知识转化为能力的重要使命.但在例题选择上常见的误区是:与当前内容脱节,题目太难,太技巧化.不重视数学思想.如:

案例3 在我校的一次教学研讨课中,某教师在“直线的倾斜角和斜率”一课中,设计了这样的例题变式:

变式 直线的斜率为k,倾斜角为α,若-1<k<1,求α的取值范围.

练习1 已知直线的倾斜角为α,若sin α=,求此直线的斜率.

练习2 已知直线y=xsinθ-1,求该直线倾斜角的范围.

不难发现这个例题和练习设计偏难,太过技巧化,考查的是三角函数正切的图象和性质,与本节课内容脱节,没有把握住本节课的概念的核心思想与本质(坐标化),使得本节课的核心概念被边缘化,容易给学生一种错觉:数学的学习就是解题技巧的学习.

二、概念教学中例题设计的对策与原则

1.例题设计要重视教材开发

教材是众多数学家、数学教育家集体智慧的结晶,具有很强的权威性和指导性,但教材中的概念、公式、定理等多数都是以具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”知识呈现出来,在教学中我们须钻研透教材,吃透教材中的概念、公式、定理等,并将其转化为易于学生理解的“教育形态”知识,挖掘、开发出其潜在教学功能.如:

案例4 江欣怿老师在教授“抛物线”一课时,对课本例题进行了二次开发,设计了以下例题,并收到了良好的教学效果:

题1 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,求点P的轨迹方程.

学生根据抛物线的定义,利用直线移动的方法,可以快速得到轨迹方程为:

=8x(x≥0).

题2 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+1=0的距离大1,求点P的轨迹方程.

同上,可以得到轨迹方程为:

=8x(x≥0).

题3 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大2,求点P的轨迹方程。

部分学生由于思维定势,马上想到利用抛物线定义得出结论:

=8x(x≥0).

显然从图象上可以看出,x轴负半轴上的所有点也是满足条件的.所以方程有两个:

=8x(x≥0)和y=0(x<0).

其实由求轨迹的一般方法,列式

追问 题1与题2为何只一个方程?是否漏解呢?

题4 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x-1=0的距离大3,求点P的轨迹方程.

此题利用列式计算求出轨迹方程:=8x(x≥1)和=-4(x-3)(x<1)已经没有困难;在利用几何方法的过程中,移动直线的关键是为了让动点到直线的距离与到定点的距离相等,除了考虑将直线x-1=0左移三个单位,将直线右移三个单位也有轨迹是满足条件的,轨迹图象如图3,为两部分抛物线叠加的轨迹.

从课堂效果上来看,此例题的设计激发了学生极大的学习热情.通过自主探究,学生不仅对抛物线的定义有了更深刻的理解,并且对“数缺形时少直观、形缺数时难入微”的数形结合思想有了深刻认识,加强了学生以形助数,以数想形的意识.

2.例题设计要注重循序渐进

一道例题能否激发学生的兴趣,让学生积极的参与,首先取决于提出的问题能否引起学生的认识冲突、能否引起学生思想上的共鸣.每一个问题都应建立在学生已有的认识基础上,并为他们留出思考的余地.俗话说:温故而知新.学过的知识需要不断地加以应用和巩固,学习新知识时更要注意与旧知识进行呼应和比较.如:

案例5 在学习了“几何概型”概念及计算公式之后,为了突出古典概型与几何概型的比较与选择,可以设计如下例题:

题1 已知x,y∈[0,6]且x,y∈N.求事件“x-y≥3”的概率.

题2 已知x,y∈[0,6]且x,y∈R,求事件“x-y≥3”的概率.

此例题的设计重在突出新旧知识之间的联系与差别,前后呼应、循序渐进,突出了从古典概型到几何概型,是从有限到无限的延伸,原来枯燥的讲解说教被题目中这一字改动,尽在不言中了.

3.例题设计要聚焦概念核心

例题的设计要有助于概念理解,有助于概念应用,应把设计的着力点聚集在概念的核心上.通过例题的解决,达到帮助学生理解概念的本质目的.如:

案例6 讲完函数概念后可以选择这样的例题来帮助学生深化概念:

题1 表1中的数据是同学们在做水龙头验时收集的.量杯的最大容量是100毫升.

(1)如果继续试验,多少秒后量杯里的水会满而溢出?

(2)这是一次函数吗?请解释.

题2 小张和小李一起做水龙头漏水实验.他们每人将收集的数据描在了直角坐标系中,如图4所示,是什么原因导致了他们所画的图象不同?如图5,关于水龙头漏水实验数据的图象,该图象说明了什么?

这样的例题,函数味道很浓,“变量”“一个量随着一个量的变化而变化”“对应关系”“变化规律”等,都得到了充分体现.问题聚焦于概念的理解和应用,只要理解了概念就能回答,而不是给学生设置“陷阱”,在与函数概念没有太大关系的问题上制造麻烦.这类例题更有助于学生理解概念的本质,能让学生感受数学的作用,对能力的培养也更全面.

4.例题设计要渗透思想方法

例题设计要使得学生能从看似平淡的文字描述、符号推演中挖掘其内涵.领悟出其深刻的数学思想,如果只是把例题看成解题技能的示范,那么教学必然缺乏“数学味”.如:

案例7 在学习了“等差数列及其前n和公式”后,教材(人教版必修5第44页)设计了:

教材通过进行求解,并没有对例题中蕴涵的数学思想方法用文字直接加以阐述.但我们能从这样的例题设计中发现,教材的设计意图在于引导学生用函数的思想来研究数列,即从数形结合的观点出发,利用数学分类讨论的思想对进行分类得到的表达式,可以是常数(由0组成的数列),可以是n的正比例函数(如由非零常数组成的数列),可以是关于n的二次函数(图象经过原点),从而使学生发现知识间的内在联系,学会用联系的观点来学习数学.这种以思想方法为主线来串联、设计例题,即能真正发挥例题的功能与价值.我们应该充分认识例题在概念学习中的功能与价值,把握概念教学中例题设计的关键与原则,在深刻理解数学概念的基础上做到深入浅出