平方根与立方根是初中数学的两个重要的概念.教学中主要联系乘方运算中的平方与立方的概念,以下是小编分享给大家的关于平方根的定义，一起来看看吧!

平方根的定义

平方根，又叫二次方根，表示为〔√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，就是0本身;负数有两个共轭的纯虚平方根。一般地，“√￣”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。如：数学语言为：√￣16=4。语言描述为：根号下16=4

平方根的公式

如果一个非负数 的 平方等于 ，即 ， ，那么这个非负数 叫做 的 算术平方根。 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”， 叫做 被开方数。求一个非负数 的平方根的运算叫做开平方。

一个 正数如果有 平方根，那么必定有两个，它们互为 相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

负数在实数系内不能开平方。只有在 复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为 虚数单位。规定： ，或 。

平方根的竖式运算

描述

像加减乘除一样，求平方根也有自己的 竖式算法。以计算 为例。过程如右下图：最后求出 约等于1.732(保留小数点后三位)。

过程1

因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。

过程2

每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以2，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位，以此类推，而个位上补上新的运算数字。简单地讲，过渡数27，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。

过程3

误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。

求平方根算法

算法1

用Ruby求平方根.(注：sqrt = square root平方根)

module MyMath

def sqrt(num,rx=1,e=1e-10) # 参数1，需要求平方根的目标;参数2，迭代区间;参数3，精度

num*=1.0 #目标初始化

(num-rx*rx).abs < e ? rx : sqrt(num,(num/rx+rx)/2,e) #计算平方根

end

end

include MyMath

puts sqrt(2) #求2的平方根

puts sqrt(2,5,0.01) #求2的平方根+迭代区间与精度。

C语言版求平方根

double Sqrt(double a,double p)//a是被 开平方根数，p是所求精度

{double x=1.0;double cheak;

do{x=(a/x+x)/2.0;cheak=x*x-a;}while(cheak<-p || cheak>p);return x;}int main(int argc, char* argv[])

{printf("%.4fn",Sqrt(2.0,0.0001));//有时输出精度要比所求精度少一位，即%.3f

printf("%.4fn",Sqrt(0.09,0.0001));

return 0;}

输出结果：

1.4142

0.3000

算法2

首先从小数点往前往后每两位分成一节 举个例子：计算√10 3. 1 6 2 2 7-------- ----------------------------- √10’00’00’00’00’-------- 3| 9 3 第1位3 ------- 6 1|100 2*3*10+1 =61 第2位1 | 61 ------- 626 | 3900 2*31*10+6 =626 第3位6 | 3756 -------- 6322|14400 2*316*10+2 =6322 第4位2 |12644 --------- 63242|175600 |126484 ----------- 632447|4911600 |4427129 --------- ××××××00(如此循环下去) 所以，√10=3.16227…

再如√7

= 2. 6 4 5 … --------------------- 2 | 7 4 -------------- 4 6 |300 276 -------------------- 52 4 | 2400 2096 ----------------------------- 528 5 | 30400 26425 ------------------------------- 5290?| 3 9 75 00

算法3

上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法，实际计算中不怕某一步算错!而上面方法就不行。 比如136161这个数字，首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。 我们先计算0.5(350+136161/350)，结果为369.5。 然后我们再计算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差无几，并且，369⊃2;末尾数字为1。我们有理由断定369⊃2;=136161。 一般来说，能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算 。首先我们发现600⊃2;<469225<700⊃2;,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685⊃2;末尾数字是5，因此685⊃2;=469225。从而 。 对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。 实际中这种算法也是计算机用于开方的算法。

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