高中数学数列通项公式的求法
数列通项公式是高中数学的重点与难点,那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由小编告诉你答案。
高中数学数列通项公式的求法总结
一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式:
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当
为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当
为等差数列时,则
为二阶等差数列,其通项公式应当为
形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是
,其常数项一定为0. 2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当
为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.
; 这类数列通常可转化为
,或消去常数转化为二阶递推式
. 例1已知数列
中,
,求
的通项公式. 解析:解法一:转化为
型递推数列. ∵
∴
又
,故数列{
}是首项为2,公比为2的等比数列.∴
,即
. 解法二:转化为
型递推数列. ∵
=2xn-1+1(n≥2) ① ∴
=2xn+1 ② ②-①,得
(n≥2),故{
}是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即
,再用累加法得
.
解法三:用迭代法.
当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数
的反函数为
求数列
的通项公式. 解析:由已知得
,则
. 令
=,则
.比较系数,得
. 即有
.∴数列{
}是以
为首项,
为公比的等比数列,∴
,故
.
评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之.
(4)
若取倒数,得
,令
,从而转化为(1)型而求之. (5)
; 这类数列可变换成
,令
,则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列
求数列
的通项公式. 解析:∵
,两边同除以
,得
.令
,则有
.于是,得
,∴数列
是以首项为
,公比为
的等比数列,故
,即
,从而
. 例4 设
求数列
的通项公式. 解析:设
用
代入,可解出
. ∴
是以公比为-2,首项为
的等比数列. ∴
,即
. (6)
这类数列可取对数得
,从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例5 设数列
求数列
的通项公式. 解析:由
可得
设
故
即
用累加法得
或
例6 在数列
求数列
的通项公式.
解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.
令
使数列
是以
为公比的等比数列(
待定). 即
∴
对照已给递推式, 有
即
的两个实根. 从而
∴
① 或
② 由式①得
;由式②得
. 消去
. 例7 在数列
求
. 解析:由
①,得
②. 式②+式①,得
,从而有
.∴数列
是以6为其周期.故
=
=-1.
三、特殊的n阶递推数列
例8 已知数列
满足
,求
的通项公式. 解析:∵
① ∴
② ②-①,得
.∴
故有
将这几个式子累乘,得
又
例9 数列{
}满足
,求数列{
}的同项公式. 解析:由
①,得
②. 式①-式②,得
,或
,故有
. ∴
,
. 将上面几个式子累乘,得
,即
. ∵
也满足上式,∴
.高中数学常见数列通项公式
累加法
递推公式为a(n+1)=an+f(n),且f(n)可以求和
例:数列{an},满足a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2-1),求{an}通项公式
解:a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)
累乘法
递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积
例:数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an,且a1=4,求an
解:an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)
构造法
将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列
连加相减,连乘相除
例:{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
解:令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an=3(n+1)
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