高中数学数列通项公式的求法

发布时间:2017-06-05 17:58

数列通项公式是高中数学的重点与难点,那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由小编告诉你答案。

高中数学数列通项公式的求法总结

一、一阶线性递推数列求通项问题

一阶线性递推数列主要有如下几种形式:

1.

高中数学数列通项公式的求法

这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

高中数学数列通项公式的求法

为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当

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为等差数列时,则

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为二阶等差数列,其通项公式应当为

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形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是

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,其常数项一定为0. 2.

高中数学数列通项公式的求法

这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

高中数学数列通项公式的求法

为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.

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; 这类数列通常可转化为

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,或消去常数转化为二阶递推式

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. 例1已知数列

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中,

高中数学数列通项公式的求法

,求

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的通项公式. 解析:解法一:转化为

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型递推数列. ∵

高中数学数列通项公式的求法

高中数学数列通项公式的求法

高中数学数列通项公式的求法

,故数列{

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}是首项为2,公比为2的等比数列.∴

高中数学数列通项公式的求法

,即

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. 解法二:转化为

高中数学数列通项公式的求法

型递推数列. ∵

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=2xn-1+1(n≥2) ① ∴

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=2xn+1 ② ②-①,得

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(n≥2),故{

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}是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即

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,再用累加法得

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.

解法三:用迭代法.

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当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数

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的反函数为

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高中数学数列通项公式的求法

求数列

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的通项公式. 解析:由已知得

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,则

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. 令

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=,则

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.比较系数,得

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. 即有

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.∴数列{

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}是以

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为首项,

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为公比的等比数列,∴

高中数学数列通项公式的求法

,故

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.

评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之.

(4)

高中数学数列通项公式的求法

若取倒数,得

高中数学数列通项公式的求法

,令

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,从而转化为(1)型而求之. (5)

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; 这类数列可变换成

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,令

高中数学数列通项公式的求法

,则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列

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求数列

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的通项公式. 解析:∵

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,两边同除以

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,得

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.令

高中数学数列通项公式的求法

,则有

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.于是,得

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,∴数列

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是以首项为

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,公比为

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的等比数列,故

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,即

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,从而

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. 例4 设

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求数列

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的通项公式. 解析:设

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代入,可解出

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. ∴

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是以公比为-2,首项为

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的等比数列. ∴

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,即

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. (6)

高中数学数列通项公式的求法

这类数列可取对数得

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,从而转化为等差数列型递推数列.

二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列

例5 设数列

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求数列

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的通项公式. 解析:由

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可得

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用累加法得

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例6 在数列

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求数列

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的通项公式.

解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.

高中数学数列通项公式的求法

使数列

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是以

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为公比的等比数列(

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待定). 即

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高中数学数列通项公式的求法

对照已给递推式, 有

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的两个实根. 从而

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① 或

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② 由式①得

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;由式②得

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. 消去

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. 例7 在数列

高中数学数列通项公式的求法

高中数学数列通项公式的求法

. 解析:由

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①,得

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②. 式②+式①,得

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,从而有

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.∴数列

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是以6为其周期.故

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=

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=-1.

三、特殊的n阶递推数列

例8 已知数列

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满足

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,求

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的通项公式. 解析:∵

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① ∴

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② ②-①,得

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.∴

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故有

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将这几个式子累乘,得

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例9 数列{

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}满足

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,求数列{

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}的同项公式. 解析:由

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①,得

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②. 式①-式②,得

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,或

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,故有

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. ∴

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,

高中数学数列通项公式的求法

. 将上面几个式子累乘,得

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,即

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. ∵

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也满足上式,∴

高中数学数列通项公式的求法

.高中数学常见数列通项公式

累加法

递推公式为a(n+1)=an+f(n),且f(n)可以求和

例:数列{an},满足a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2-1),求{an}通项公式

解:a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

累乘法

递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

例:数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an,且a1=4,求an

解:an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

构造法

将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列

连加相减,连乘相除

例:{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

解:令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

∴an=3(n+1)

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