导语：圆是一种几何图形。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。

(一)圆的标准方程

1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。

2. 圆的标准方程：已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。

说明：

(1)上式称为圆的标准方程。

(2)如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的方程就是x2+y2=r2。

(3)圆的标准方程显示了圆心为(a，b)，半径为r这一几何性质，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圆心为(a，b)，半径为r。

(4)确定圆的条件 由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定.因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。

(5)点与圆的位置关系的判定 若点M(x1，y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2>r2 ; 若点M(x1，y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2

(二)圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 将①配方得： ②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 当时，方程①表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以为半径的圆; 当时，方程①只有实数解，所以表示一个点(-D/2,-E/2); 当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。 故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

(1)和的系数相同，且不等于0;

(2)没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。 要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。

(三)直线和圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法：

(l)几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。 d>r直线与圆相离;d=r直线与圆相切;0≤d

(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。 △<0直线与圆相离;△=0直线与圆相切;△>0直线与圆相交。

说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。

2. 圆的切线方程

(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2

(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ;

(3)过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y+D·(x0+x)/2+E·(y0+y)/2+F=0 3.

直线与圆的位置关系中的三个基本问题

(1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

(2)求切线方程。若已知切点M(x0，y0)，则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ; 若已知切线上一点N(x0，y0)，则可设切线方程为y-y0=k(x-x0)，然后利用d=r求k，但需注意k不存在的情况。

(3)关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

(四)圆与圆的位置关系

1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：

第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数;

第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。

第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12与圆(x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置关系，其中r1>0，r2>0 设两圆的圆心距为d，则d=根号下(a1-a2)2+(b1-b2)2 当d>r1+r2时，两圆外离; 当d=r1+r2时，两圆外切; 当|r1-r2|

2.我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。

(二)、圆的方程

1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).

⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).

4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

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