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高中数学第一章-集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集.

逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

(一) 集合

1. 基本概念：集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为;

②空集是任何集合的子集，记为;

③空集是任何非空集合的真子集;

如果，同时，那么A = B.

如果.

[注]：①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(×)(例：S=N; A=，则CsA= {0})

③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS(CAB)= D ( 注 ：CAB = ).

3. ①{(x，y)|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.

②{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.

③{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.

[注]：①对方程组解的集合应是点集.

例： 解的集合{(2，1)}.

②点集与数集的交集是. (例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =)

4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n -1个. ③n个元素的非空真子集有2n-2个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.

例：①若应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

② .

解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.

,故是的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.

3. 例：若.

4. 集合运算：交、并、补.

5. 主要性质和运算律

(1) 包含关系：

(2) 等价关系：

(3) 集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:.

0-1律：

等幂律：

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

6. 有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来;

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);

④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

(自右向左正负相间)

则不等式的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为>0(或<0); ≥0(或≤0)的形式，

(2)转化为整式不等式(组)

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法：,与型的不等式的解法.

(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” );p且q(记作“p∧q” );非p(记作“┑q” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;

(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假;

(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q; 逆命题：若q则p;

否命题：若┑P则┑q;逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题;

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题;

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性.

反函数.互为反函数的函数图像间的关系.

指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.

对数.对数的运算性质.对数函数.

函数的应用.

考试要求：

(1)了解映射的概念，理解函数的概念.

(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.

(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.

(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质.

(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.

(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

§02. 函数 知识要点

一、本章知识网络结构：

二、知识回顾：

(一) 映射与函数

1. 映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

(二)函数的性质

⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;

⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

7. 奇函数，偶函数：

⑴偶函数：

设()为偶函数上一点，则()也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.

②满足，或，若时，.

⑵奇函数：

设()为奇函数上一点，则()也是图象上一点.

奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.

②满足，或，若时，.

8. 对称变换：①y = f(x)

②y =f(x)

③y =f(x)

9. 判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：已知函数f(x)= 1+的定义域为A，函数f[f(x)]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 .

解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.

11. 常用变换：

①.

证：

②

证：

12. ⑴熟悉常用函数图象：

例：→关于轴对称. →→

→关于轴对称.

⑵熟悉分式图象：

例：定义域，

值域→值域前的系数之比.

(三)指数函数与对数函数

指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1

(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.

（5）在 R上是增函数

（5）在R上是减函数

对数函数y=logax的图象和性质:

对数运算：

a>1

0<a<1

图

象

性

质

（1）定义域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

（4）时

时 y>0

时

时

（5）在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

注⑴：当时，.

⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.

例如：中x>0而中x∈R).

⑵()与互为反函数.

当时，的值越大，越靠近轴;当时，则相反.

(四)方法总结

⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.

⑴对数运算：

(以上)

注⑴：当时，.