只有脚踏实地做八年级数学测试题的人，才能够说：路，就在我的脚下。小编整理了关于八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷，希望对大家有帮助!

八年级数学上册线段、角的轴对称性试试题

一、选择题(共14小题)

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P( )

A.有且只有1个

B.有且只有2个

C.组成∠E的角平分线

D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)

2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )

A.10 B.7 C.5 D.4

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=( )

A. B.2 C.3 D. +2

4.如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为( )

A. B. C. D.1

5.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为( )

A.6 B.5 C.4 D.3

6.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( )

A.2 B. C. D.

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是( )

A.1 B. C. D.2

8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形;

④AE+DF=AF+DE.

其中正确的是( )

A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于( )

A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC

10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )

①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC：S△ABC=1：3.

A.1 B.2 C.3 D.4

11.如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：

①∠AFE=∠AEF;

②AD垂直平分EF;

③ ;

④EF一定平行BC.

其中正确的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )

A.3 B.4 C.6 D.5

13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )

A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )

A. B. C. D.

二、填空题(共13小题)

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线.若AB=6，则点D到AB的距离是 .

16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .

17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 .

18.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE=3，则点P到AD的距离为 .

19.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 .

20.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 .

21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为 .

22.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °.

23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= .

24.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 .

25.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm.

26.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 .

27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是 .

三、解答题(共3小题)

28.如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.

29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形.

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上;

(2)若AC=5，BC=12，求OE的长.

30.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷参考答案

一、选择题(共14小题)

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P( )

A.有且只有1个

B.有且只有2个

C.组成∠E的角平分线

D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)

【考点】角平分线的性质.

【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD.

【解答】解：作∠E的平分线，

可得点P到AB和CD的距离相等，

因为AB=CD，

所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.

故选D.

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.

2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )

A.10 B.7 C.5 D.4

【考点】角平分线的性质.

【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.

【解答】解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF=DE=2，

∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5，

故选C.

【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=( )

A. B.2 C.3 D. +2

【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.

【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得.

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE=1，

又∵直角△BDE中，∠B=30°，

∴BD=2DE=2，

∴BC=CD+BD=1+2=3.

故选C.

【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键.

4.如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为( )

A. B. C. D.1

【考点】角平分线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

【分析】根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中， =1，即可解答.

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，

∴∠PBC= =30°，

∵PC⊥BC，

∴∠PCB=90°，

在Rt△PCB中， =1，

∴点P到边AB所在直线的距离为1，

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值，解决本题的关键是等边三角形的性质.

5.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为( )

A.6 B.5 C.4 D.3

【考点】角平分线的性质.

【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解.

【解答】解：如图，

过点P作PE⊥OB于点E，

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，

∴PE=PD，

∵PD=6，

∴PE=6，

即点P到OB的距离是6.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键.

6.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( )

A.2 B. C. D.

【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长.

【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠COP=30°，

∵CP∥OA，

∴∠AOP=∠CPO，

∴∠COP=∠CPO，

∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，

∴∠CPE=30°，

∴CE= CP=1，

∴PE= = ，

∴OP=2PE=2 ，

∵PD⊥OA，点M是OP的中点，

∴DM= OP= .

故选：C.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是( )

A.1 B. C. D.2

【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可.

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，

∴DE=CD，

由勾股定理得，AB= = =5，

S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC，

即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4，

解得CD= .

故选C.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键.

8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形;

④AE+DF=AF+DE.

其中正确的是( )

A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.

【专题】压轴题.

【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确.

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF;然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF.

③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可.

④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可.

【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，

∴①不正确;

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD∠FAD，

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD(AAS)，

∴AE=AF，DE=DF，

∴AE+DF=AF+DE，

∴④正确;

在△AEO和△AFO中，

，

∴△AE0≌△AF0(SAS)，

∴EO=FO，

又∵AE=AF，

∴AO是EF的中垂线，

∴AD⊥EF，

∴②正确;

∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，

∴四边形AEDF是矩形，

又∵DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形，

∴③正确.

综上，可得

正确的是：②③④.

故选：D.

【点评】(1)此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握.

(2)此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握.

(3)此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握.

9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于( )

A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC

【考点】角平分线的性质.

【专题】压轴题.

【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有 = ，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证.

【解答】解：如图

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，

∵BE∥AC，

∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，

∴△BDE∽△CDA，

∴ = ，

又∵AD是角平分线，

∴∠E=∠DAC=∠BAD，

∴BE=AB，

∴ = ，

∴AB：AC=BD：CD.

故选：A.

【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.

10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )

①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC：S△ABC=1：3.

A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.

【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.

【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.

故①正确;

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.

故②正确;

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上.

故③正确;

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD= AD，

∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD.

∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC= AC•AD： AC•AD=1：3.

故④正确.

综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.

故选D.

【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.

11.如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：

①∠AFE=∠AEF;

②AD垂直平分EF;

③ ;

④EF一定平行BC.

其中正确的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.

【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF;又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面积公式求解即可得③ .

【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，

∴AF=AE，

∴∠AFE=∠AEF，故正确;

②∵DF=DE，AF=AE，

∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF，故正确;

③∵S△BFD= BF•DF，S△CDE= CE•DE，DF=DE，

∴ ;故正确;

④∵∠EFD不一定等于∠BDF，

∴EF不一定平行BC.故错误.

故选A.

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )

A.3 B.4 C.6 D.5

【考点】角平分线的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.

【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴ ×4×2+ ×AC×2=7，

解得AC=3.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )

A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

【考点】角平分线的性质;三角形内角和定理.

【专题】计算题.

【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC.

【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，

故A选项正确，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，

在△ABO中，

∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，

∴∠DOC=∠AOB=85°，

故B选项错误;

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°，

∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，

故C选项正确;

∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，

∴AD是△ABC的外角平分线，

∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°，

故D选项正确.

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键.

14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )

A. B. C. D.

【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.

【专题】压轴题.

【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解.

【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，

∴BC= = =5，

∴BC边上的高=3×4÷5= ，

∵AD平分∠BAC，

∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，

则S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ，

解得h= ，

S△ABD= ×3× = BD• ，

解得BD= .

故选A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键.

二、填空题(共13小题)

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线.若AB=6，则点D到AB的距离是 .

【考点】角平分线的性质.

【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出.

【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC= ∠ABC=30°，

∴BC= AB=3，

∴CD=BC•tan30°=3× = ，

∵BD是∠ABC的平分线，

又∵角平线上点到角两边距离相等，

∴点D到AB的距离=CD= ，

故答案为： .

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：3 .

【考点】角平分线的性质.

【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，

∴h1=h2，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，

故答案为4：3.

【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.

17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 3 .

【考点】角平分线的性质.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.

【解答】解：作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，

∴DE=DC，

∵DC=3，

∴DE=3，

即点D到AB的距离DE=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

18.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE=3，则点P到AD的距离为 3 .

【考点】角平分线的性质;菱形的性质.

【专题】计算题.

【分析】作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF=PE=3.

【解答】解：作PF⊥AD于D，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC平分∠BAD，

∵PE⊥AB，PF⊥AD，

∴PF=PE=3，

即点P到AD的距离为3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了菱形的性质.

19.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15 .

【考点】角平分线的性质.

【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可.

【解答】解：过D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=DE=3，

∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15，

故答案为：15.

【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

20.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 3 .

【考点】角平分线的性质;勾股定理.

【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的长，继而求得答案.

【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，

即AD⊥BA，

∴DE=AD，

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，

∴AD= =3，

∴DE=AD=3，

∴点D到BC的距离是3.

故答案为：3.

【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用.此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为 15 .

【考点】角平分线的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解.

【解答】解：作DE⊥AB于E.

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=CD=3.

∴△ABD的面积为 ×3×10=15.

故答案是：15.

【点评】此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.

22.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35 °.

【考点】角平分线的性质.

【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线，然后根据角平分线的定义解答即可.

【解答】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD，

∴OQ是∠AOB的平分线，

∵∠AOB=70°，

∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.

故答案为：35.

【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键.

23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 .

【考点】角平分线的性质;勾股定理.

【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB= = =10，

∵AD平分∠CAB，

∴CD=DE，

∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC，

即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8，

解得CD=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.

24.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 10 .

【考点】角平分线的性质.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD.

【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE=PD=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

25.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 4 cm.

【考点】角平分线的性质.

【分析】BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离.

【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，

∴点P到BC的距离=PE=4cm.

故答案为4.

【点评】本题考查了角平分线的性质.由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键.

26.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 4 .

【考点】角平分线的性质.

【专题】压轴题.

【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF;再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE;最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可.

【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCE=∠DCF，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

在△DEC和△DFC中，

(AAS)

∴△DEC≌△DFC，

∴DF=DE=2，

∴S△BCD=BC×DF÷2

=4×2÷2

=4

答：△BCD的面积是4.

故答案为：4.

【点评】(1)此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

(2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握.

27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是 4 .

【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

【专题】计算题.

【分析】先求出∠CAD=30°，求出∠BAC=60°，∠B=30°，根据勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可.

【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=2，AD=4，

∴∠CAD=30°，

∴由勾股定理得：AC= =2 ，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=4 ，

故答案为：4 .

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

三、解答题(共3小题)

28.如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.

【考点】角平分线的性质;三角形的面积.

【分析】分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，由AC为∠BAD的角平分线，得到CG=CH，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC面积=△ACD面积，又由于AE=DF，得到△AEC面积=△CDF面积，于是△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，求出△BCE面积=△ACF面积，由四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，得到四边形AECF面积=△ABC面积，又由于四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，四边形ABCD面积=2△ABC面积，即可得到结果.

【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，

∵AC为∠BAD的角平分线，

∴CG=CH，

∵AB=AD，

∴△ABC面积=△ACD面积，

又∵AE=DF，

∴△AEC面积=△CDF面积，

∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，

△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，

∴△BCE面积=△ACF面积，

∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，

四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，

∴四边形AECF面积=△ABC面积，

又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，

又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，

∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形.

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上;

(2)若AC=5，BC=12，求OE的长.

【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

【分析】(1)过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;

(2)由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果.

【解答】(1)证明：过点O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一条角平分线，

∴OE=OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上;

(2)解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB= = =13，

设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，

∴ ，

解得： ，

∴CE=2，

∴OE=2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键.

30.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

【考点】角平分线的性质;勾股定理.

【分析】(1)根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可;

(2)利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.

【解答】解：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∵CD=3，

∴DE=3;

(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，

∴△ADB的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.

【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.