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这一阶段从十九世纪五十年代到十九世纪七十年代。1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，特别是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。

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数学历史：数学新思想的深化阶段

在十九世纪前半叶，数学家已认识到存在不同于欧氏几何的新几何学，并发展了内蕴几何和高维几何的理论，但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论，开始了现代微分几何学研究。

这是关于任意维空间的内蕴几何，黎曼以二次微分形式定义流形的度量，给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经十九世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家领悟，他们对微分不变量的研究，最后导致里奇创立张量理论。

在另一篇论文中，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是十九世纪70～80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属二十世纪初出现的勒贝格积分。

1859年，黎曼研究 ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在几何、分析、数论领域长盛不衰，有力地影响着十九世纪后期以至二十世纪的数学研究。

魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。

当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时，英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年，布尔发表了《思维规律的研究》，创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。

1855年，凯莱在研究线性变换的不变量时，系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象，它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器。

基于对矩阵和四元数的认识，凯莱还引进了抽象群的概念，但未立刻引起重视，抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。

十九世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的《置换论》中，他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系作出清晰的总结，为群论在十九世纪最后30年间的发展奠定了基础。

在这一时期，数学家对射影几何及非欧几何的认识也日趋深化。1859年，凯莱论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的届性，而可以借助某种特定图形按射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一部分。克莱因发挥凯莱的思想，同样论证非欧几何也可以包括在射影几何之内。这样便彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系，铺平了几何公理化发展的道路。

1868年，贝尔特拉米在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何，在欧氏空间中给出直观上难以想象的非欧几何模型。之后克莱因和庞加莱分别给出各自的非欧几何模型，说明非欧几何本身的相容性(即无矛盾性)与欧氏几何一致，加速了人们接受非欧几何的进程。

在60年代末70年代初，由高斯在十九世纪初开辟的代数数论研究，经由戴德金和克罗内克等人的推进，形成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的惟一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，并创立有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。

这里，需要提及概率论中的几项重要成果。在十九世纪，概率论的发展不象数学其他分支那样突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫关于独立随机变量序列的大数律和某类独立随机变量序列的中心极限定理，概率论的系统理论到二十世纪才完成。综上所述，可看到十九世纪前半叶出现的新思想，在这20多年间变得更成熟，形成了众多独立的研究方向或分支学科。