2016高一数学竞赛试题

发布时间:2016-12-24 11:51

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2016高一数学竞赛试题

一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)

1.已知 , 为集合I的非空真子集,且 , 不相等,若 ,则

( )

A. B. C. D.

2.与直线 的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 ( )

A. = 32 B. =32

C. =32 D. =-32

3. 已知过点 和 的直线的斜率为1,则实数 的值为 ( )

A.1 B.2 C.1或4 D.1或2

4. 已知圆锥的表面积为6 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为 ( )

A. B.2 C. D.

5. 在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为 ( )

①过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直;

②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等,则α∥β;

③若直线l与平面内的无数条直线垂直,则l⊥α;

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线;

A.3 B.2 C.1 D.0

6. 已知函数 定义域是 ,则函数 的定义域是 ( )

A. B. C. D.

7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( )

8. 设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为 ,体积为 ,若它们的侧面积相等且 ,则 的值是 ( )

A. B. C. D.

9.设函数 ,如果 ,则 的取值范围是 ( )

A. 或 B. C. D. 或

10.已知函数 没有零点,则实数 的取值范围是 ( )

A. B. C. D.

11.定义在R上的偶函数 满足:对任意的 ,有 .则 ( )

A. B.

C. D.

12. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各个面中,直角三角形的个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)..

13.已知增函数 ,且 ,则 的零点的个数为

14. 已知 在定义域 上是增函数,则 的取值范围是

15. 直线 恒过定点

16. 高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

三、解答题(17题10,其余每题12分)

17.已知一个空间组合体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,请说出该组合体由哪些几何体组成,并且求出该组合体的表面积和体积

18.已知偶函数 的定义域为 ,且在 上是增函数, 试比较 与 的大小。

19. 已知方程 + +6- =0( ).

(1)求该方程表示一条直线的条件;

(2)当 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;

(3)已知方程表示的直线 在 轴上的截距为 -3,求实数 的值;

20. 已知函数 ,判断函数的奇偶性,单调性,并且求出值域

21. 如图,长方体 ﹣ 中, , , ,点 分别在 上, .过点 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(说明画法和理由)

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

22. 如图,三棱锥P-A BC中,平面PAC 平面ABC, ABC= ,点D、E在线段AC上, 且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF//面PBC.

(1)证明:EF// BC.

(2)证明:AB 平面PFE.

(3)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.

2016高一数学竞赛试题答案

一、ACACD,BCBDA,DB

13、1个 14、 15、(-2,3) 16、1

17、解:解:由一个半球和一个圆柱组成的…2分

表面积是: …6分

体积是: … 10分

18、解: …5分

因为函数为偶函数,且在 上是增函数,所以在 是减函数…8分

所以 …12分

19、解:解:(1)当x,y的系数不 同时为零时,方程表示一条直线,

令m2―2m―3=0,解得m=-1或m=3;

令2m2+m-1=0,解得m=-1或m= .

所以方程表示一条直线的条件是m∈R,且m≠-1.…4分

(2)由(1)易知 ,当m= 时,方程表示的直线的斜率不存在,此时的方程为x= ,它表示一条垂直于 轴的直线.…8

(3)依题意,有 =-3,所以3m2-4m-15=0. 所以m=3,或m=- ,由(1)知所求m=- .…12分

20、解:函数的定义域是 ,…2分

因为 ,所以函数是 奇函数。 …4分 ,设 ,则

当 时, ,所以 ,所以在 上是减函数; …8分

当 时, ,所以 , 所以在 上也是减函数。

由 , ,所以 或 …12分

21、解:

(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图:在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6,则E F平行且等于HG,所以四边形EFGH是平行四边形,EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且经过计算可知EH=FG=10,所以EFGH是正方形 …6分

(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM= A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.

因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH= .

因为长方体被平面 分为两个高为10的直棱柱,

所以其体积的比值为 ( 也正确)…12分

22、(1)证明: EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,

所以根据线面平行的性质可知EF// BC. …4分

(2)由DE=EC,PD=PC可知:E为等腰 PDC中D C边的中点,

故PE AC,又平面PAC 平面ABC,

平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,

所以PE 平面ABC,

所以PE AB,因为 ABC= ,EF// BC.所以AB EF

所以AB 面PEF…8分

(3)设BC= ,在直角三角形ABC中,AB= , , EF// BC知 AFE相似于 ABC,所以

由AD= AE, ,

从而四边形DFBC的面积为 ,

由(2)可知PE是四棱锥P-DFBC的高,PE= ,

所以V= 所以 ,所以 或者 ,

所以BC=3或BC= …12分

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