必修4数学平面向量的基本定理及坐标表示

发布时间:2017-06-14 15:55

平面向量作为一种基本的数学工具,既有用坐标表示,又有几何表示,在不少数学问题求解中都有着极其重要的地位与作用。下面是小编给大家带来的必修4数学平面向量的基本定理及坐标表示,希望对你有帮助。

数学平面向量的基本定理及坐标表示

1.两个向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则AOB=θ叫做向量a与b的夹角.

(2)范围

向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.

(3)向量垂直

如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作ab.

2.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理:

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(2)平面向量的坐标表示:

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是A点的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立.(O是坐标原点)

[探究] 1.向量的坐标与点的坐标有何不同?

提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标却可以不同,以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同.

3.平面向量的坐标运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2);

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1);

(3)若a=(x,y),则λa=(λx,λy);

(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab?x1y2=x2y1.

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