奥林匹克数学竞赛因式分解

发布时间:2017-05-27 03:18

奥林匹克数学竞赛因式分解十二种方法

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)

x-2x-x=x(x-2x-1)

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)

解：a+4ab+4b=(a+2b)

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m+5n-mn-5m

解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n

=(m-5m)+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、十字相乘法

对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x-19x-6

分析：1-3

2-21=-19

解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40

解x+3x-40=x+3x+()-()-40

=(x+)-()

=(x++)(x+-)

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x-x-6x-x+2

解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x

=x[2(x+)-(x+)-6

令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6

=x[2(y-2)-y-6]

=x(2y-y-10)

=x(y+2)(2y-5)

=x(x++2)(2x+-5)

=(x+2x+1)(2x-5x+2)

=(x+1)(2x-1)(x-2)

8、求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)

例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6

解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1

则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)

例9、因式分解x+2x-5x-6

解：令y=x+2x-5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)

=(b-c)[a-a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x+9x+23x+15

解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x-x-5x-6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)

=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)