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八年级下册数学课时练答案(一)

矩形的判定

【优效自主初探】

自主学习

(1)①证明：在□ABCD中，AB=CD.

因为AC= BD，BC=CB，

所以△ABC≌△DCB.

②在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

所以∠ABC+∠DCB=180°.

因为△ABC≌△DCB，

所以∠ABC=∠DCB，

所以∠ABC=90°.

③在平行四边形ABCD中，因为∠ABC=90°，

所以四边形ABCD是矩形.

(2)①90°

②平行

③是矩形，由矩形的定义可得.

归纳：矩形的判定方法。

(1)有一个角是直角的四边形是平行四边形 。

(2)对角线相等的四边形是平行四边形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

【高效合作交流】

[例1]思路探究：

(1)因为∠BAD=∠CAE，

所以∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，

所以∠BAE=∠CAD.

又因为AE=AD.AB=AC，

所以△BAE≌△CA D.

(2)因为△BAE≌△CAD，

所以BE=CD.

又因为DE=BC，

所以四边形BCDE是平行四边形.

(3)因为△BAE≌△CAD，

所以∠BEA=∠CDA.

因为AE=AD，

所以∠AED=∠ADE.

所以∠BED=∠CDE.

证明：因为∠BAD=∠CAE，

所以∠BAD =BAC=∠CAE -∠BAC，

所以∠BAE=∠CAD.

因为AE=AD，AB=AC，

所以△BAE≌△CAD(SAS).

所以∠BEA=∠CDA，BE =CD.

又因为DE=BC，

所以四边形BCDE是平行四边形.

因为AE=AD，

所以∠AED=∠ADE.

因为∠BEA =∠CDA，

所以∠BED=∠CDE.

因为四边形BCDE是平行四边形，

所以BE∥CD，

所以∠BED+∠CDE= 180°，

所以∠BED =∠CDE=90°，

所以四边形BCDE是矩形.

[针对训练]1

(1)证明：因为BE⊥AC，DF⊥AC，

所以∠BEO-∠DF0=90°.

因为点O是EF的中点，

所以OE=OF.

又因为∠DOF=∠BOE，

所以△BOE≌△DOF (ASA).

(2)解：四边形ABCD是矩形，理由如下：

因为△BOE≌△DOF，

所以OB=OD.

又因为OA=OC，

所以四边形ABCD是平行四边形.

因为OA=1/2BD,OA=1/2AC，

所以BD=AC，

所以平行四边形ABCD是矩形.

[例2]思路探究：

(1)直角

(2)⊥

(3)因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，

所以BD=DC==6×1/2=3，AD⊥BC.

在Rt△ACD中，

(1)证明：因为AB=AC，AD是BC边上的中线，

所以AD⊥3C，

所以∠ADB=90°，

因为四边形ADBE是平行四边形，

所以平行四边形ADBE是矩形.

(2)解：因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，

所以BD=DC=6×1/2=3.

在Rt△ACD中.

所以S矩形ADBE=BD∙AD=3×4=12.

[针对训练]2、6

达标检测

1、D

2、D

3、(2，)

4、证明：因为四边形ABDE是平行四边形，

所以AE∥BD，AB=DF，AE=BD.

因为D是BC的中点，

所以CD=BD，

所以CD∥AE，CD=AE，

所以四边形ADCF是平行四边形.

因为AB=AC.D为BC的中点，

所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，

所以平行四边形ADCE是矩形.

【增效提能演练】

1、D

2、C

3、AB=AD

4、证明：

(1)因为BE=CF，BF =BE+EF .CE=CF+EF，

所以BF=CE.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=DC,又因为AF=DE.

所以△ABF≌△DCE( SSS).

(2)因为△ABF≌△DCF,所以∠B=∠C.

因为四边形ABCD是平行四边形.所以AB∥CD.

所以∠B=∠C=180°.

所以∠B=∠C=90°，

所以四边形ABCD是矩形.

5、解答。

解：

(1)BD=CD.理由如下：

因为AF∥BC，

所以∠AFE=∠DCE.

因为E是以AD的中点.

所以AE=DE.

又因为∠AEF=∠DEC，

所以△AEF≌△DEC(AAS).

所以AF=CD.

因为AF=BD,

所以BD=CD.

(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形， 理由如下：

因为AF∥BD，AF=BD,

所以四边形AFBD是平行四边形.

因为AB=AC，BD=CD，

所以∠ADB=90°，

所以□AFBD是矩形.

6、解：四边形PEMF为矩形，理由如下：

因为PE∥/MB，PF∥MC，

所以四边形PEMF为平行四边形。

在平行四边形ABCD中，AB=CD，因为点M是边AD的中点

所以AM=DM=1/2AD.

因为AB：AD=1：2，

所以AB=CD=AM=DM，

所以∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM.

因为AD∥CB，

所以∠CBM=∠AMB，∠DMC=∠BCM，

所以∠CBM=∠ABM=1/2∠ABC，∠DCM=∠BCM=1/2∠DCB.

因为AB∥CD.

所以∠ABC十∠DCB=-180°，

所以∠CBM+∠BCM=90，

所以∠BMC=90°，

所以平行四边形PEMF为矩形.

7、解答。

证明：

(1)因为CN∥AB，

所以∠DAC=∠NCA.

又因为MA=MC，∠AMD=∠CMN，

所以△AMD≌△CMN(AAS)，

所以AD=CN.

又因为AD∥CN，

所以四边形ADCN是平行四边形，

所以CD=AN.

(2)因为∠ACM=2∠MCD，∠AMD=∠MMCD+∠MDC，

所以∠MCD=∠MDC.

所以MD=MC.

由(1)，知四边形ADCN是平行四边形.

所以MD=MN=MA=MC，

所以AC=DN，

所以四边形ADCN是矩形.

8、(1)证明：如答图18.2.2-1;因为MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

所以∠2=∠5.∠4=∠6.

因为MN∥BC，

所以∠1=∠5，∠3=∠6，

所以∠l=∠2，∠3=∠4，

所以EO=CO,FO=CO，

所以0E=OF.

答图18. 2.2一l

(2)解：因为∠2=∠5，∠4=∠6，

所以∠2+∠4=∠5+∠6=90°.

因为CE==12，CF=5，

所以OC=1/2EF=6.5.

(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：

当O为AC的中点时，AO=CO

因为EO=FO,

所以四边形AECF是平行四边形.

因为∠ECF=90°，

所以平行四边形AECF是矩形.

因为EP=FO;

所以四边形AECF是平行四边形.

因为∠FCF=90°，

所以□AFCF是矩形.

八年级下册数学课时练答案(二)

菱形的性质

【优效自主初探】

自主学习

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、(1)CD、AD 、 CD、AD

归纳：菱形的四条边都相等。

(2)OC、⊥、∠ABC、∠ADC、∠BAD、∠BCD

归纳：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3、1/2a、AO、1/4ab、1/2ab

4、(1)70°

(2)6 cm²

【高效合作交流】

[例]思路探究：

(1)在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，

所以△ABD为等边三角形.

(2)因为△ABD为等边三角形;

所以BD=AB=4.

又因为O为BD的中点.

所以OB=2。

解：

(1)在菱形ABCD中.AB==AD.∠A=60°，

所以△ABD为等边三角形，

所以∠ABD= 60°.

(2)由(1)，知 BD=AB=4.

因为0为BD的中点，

所以OB=2.

又因为OE⊥AB，∠ABD=60°，

所以∠BOE=30°.

所以BE=1/2OB=1

[针对训练]1

证朋：因为等边三角形CFF的边长与菱形ABCD的边长相等，

所以BC=CE.

所以∠B=∠BEC.

同理∠D=∠CFD.

又因为∠B=∠D

所以∠BEC=∠CFD.

因为△CEF为等边三角形，

所以∠CEF=∠CFE.

因为∆CEF为等边三角形，

所以∠CEF=∠CFE.

因为∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，

所以∠AEF=∠AFE.

[例2]思路探究：SAS、SSS、∠EAC、∠FAC、SAS

证明：因为AC是菱形ABCD的对角线，

所以∠EAC=∠FAC.

又因为AE=AF，AC=AC，

所以∆ACE≌∆ACF(SAS).

[针对训练]2

解：DE=DF. 证明过程如下：

如答图12.2.3-1，连接BD.

因为四边形ABCD是菱形，

所以∠CBD=∠ABD.

因为DF⊥BC，DE⊥AB，

所以∠DFB=∠DEB=90°.

又因为DB=DB，

所以∆DFB≌∆DEB(AAS)，

所以DE=DF.

答图12.2.3-1

达标检测

1、D

2、C

3、A

4、12/5

5、证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=BC，∠A=∠C，

又因为AF= CE，

所以△ABF≌△CBE( SAS)，

所以BE=BF.

【增效提能演练】

1、C

2、B

3、B

4、A

5、(3，4)

6、解答。

(1)解：△.ADC≌△ABC;△GFC≌△EFC.

(2)证明：因为四边形ABCD和四边形CEFG是菱形，

所以DC=BC,CG=CE, ∠DCA=∠BCA, ∠GCF=∠ECF.

因为点A，C，F在同一条直线上，

所以∠ACF=180°，

所以∠DCG=∠BCE.

所以△DCG≌△FCF.

所以BE=DG.

7、解答。

(1)证明：如答图18.2.3-3，连接AC.

因为BD，AC.是菱形ABC,D.的对角线，

所以BD垂直平分AC.

所以AE=EC,.

(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：

在菱形ABCD中，AB=BC，

又因为∠ABC=60°，

所以△ABC是等边三角形，

所以∠BAC=60°

所以AE=EC，

又因为∠EAC+∠ECA=∠CEF=60°，

所以∠EAC=1/2∠CEF=30°

所以AF是△ABC的角平分线，

所以AF是线段BC的中点，

所以点F是线段BC的中点.

9、解答。

(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=AD，∠BAC=∠DAC.

又因为EF⊥AC，

所以∠AOE=∠AOM=90°.

又因为AO=AO，

所以△AOE≌△AOM，

所以AE=AM.

因为AM = AE=1/2AD，

所以AM=DM.

(2)解：因为AB∥CD,

所以△AEM=△F.

又因为∠DMF =∠AME.，∠AME=∠AEM,

所以∠DMF=∠F，

所以△DFM是等腰三角形，

所以DF=DM=(1 )/2AD.

因为DF=2，

所以AD=4.

所以菱形ABCD的周长是16.

10、解答。

(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AO=CO，AD∥BC，

所以∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，

所以△AOE≌△COF (ASA).

(2)解：因为∠BAD=60°，

所以∠DAO=1/2∠BAD=1/2×60°=30°.

因为∠EOD=30°.

所以∠AOE=90°-30°=60°，

所以∠AEF =180-∠DAO-∠A0E =180°-30°-60°=90°

因为菱形的边长为2，∠DAO=30°，

所以OD= 1/2AD=1/2×2=1，

所以OE=1/2AO=/2，AE=3/2.

由(1)，知CF=AE=3/2，EF=2×/2=，

在Rt△CEF中，

.

八年级下册数学课时练答案(三)

菱形的判定

【优效自主初探】

自主学习

1、菱形的判定定理.

(1)OC、CD、菱形

归纳：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(2)平行、菱形

归纳：四条边相等的四边形是菱形.

2、OA=OC(注：此题答案不唯一)

【高效合作交流】

[例1]思路探究：

(1) DF、CF、10、平行四边形

(2)因为∠B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm，

证明：由平移，得CF =AD=10 cm，DF=AC，

所以四边形ACFD是平行四边形.

因为∠B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm,

又因为AD=10 cm，

所以AC=AD，

所以四边形ACFD是菱形.

[针对训练]1

证明：

(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

所以∠AEB=∠EAD.

因为AF=AB.

所以∠ABF=∠AEB.

所以∠ABE=∠EAD.

(2)因为AD∥BC，

所以∠ADB =∠DBE.

又因为∠ABE =∠AEB，∠AEB=2∠ADB，

所以∠ABE=2∠ADB，

所以∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB -∠ADB=∠ADB.

所以AB=AD.

又因为四边形ABCD是平行四边形，

所以四边形ABCD是菱形.

[例2]思路探究：

(1)AE=AF.理由如下：

因为点E,F分别为AB，AD的中点，

所以AE=1/2AB，

AF=1/2AD.

又因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=AD，

所以AE=AF.

(2)因为菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，

所以O为BD的中点，

又因为点E，F分别为AB，AD的中点，

所以OE，OF是△ABD的中位线，

所以OF∥AD，OF∥AB，

所以四边形AEOF是平行四边形.

证明：因为点E，F分别为AB，AD的中点，

所以AE=1/2AB,AF=1/2AD，

又因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=AD，所以AE=AF.

又因为菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.

所以O为BD的中点，

所以OE，OF是△ABD的中位线，

所以OE∥AD，OF∥AB.

所以四边形AEOF是平行四边形，

因为AE=AF，所以四边形AEOF是菱形.

[针对训练]2

解：

(1)菱形.理由：根据题意，得AE=AF=ED=DF.

所以四边形AEDF是菱形.

(2)如答图18.2.4-1，连接EF，因为AE=AF，∠A=60°,

所以△EAF是等边三角形，

所以EF=AE=8 cm.

答图 18.2.4-1

达标检测

1、A

2、B

3、菱形

4、AB=BC(答案不唯一)

5、证明：因为∠B=60°,AB=AC，

所以∆ABC为等边三角形，

所以AB=BC，∠ACB=∠BAC=60°，

所以∠A=CE=∠FAC=120°.

因为AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，

所以∠DAC=∠ACD=60°，

所以∠BAD=∠BCD=120°，∠B=∠D=60°，

所以四边形ABCD是平行四边形.

又因为AB=BC，

所以平行四边形BCD是菱形.

【增效提能演练】

1、B

2、A

3、B

4、有一组邻边相等的平行四边形是菱形

5、菱形

6、证明：

(1)在平行四边形ABCD中，AB∥CD,AB =CD.

因为F，F分别为AB,CD的中点，

所以DF=1/2DC,BE=1/2AB.

所以DF∥BE，DF=BE.

所以四边形DEBF是平行四边彤.

所以DE∥BF.

(2)因为AG∥BD.

所以∠G=∠DBC=90°.

所以△DBC是直角三角形，

又因为F是CD的中点，

所以BF=1/2DC=DF.

又因为四边形DEBF是平行四边形，

所以四边形DFBF是菱形.

7、解答。

(1)证明：因为AF∥BC，

所以∠AFE=∠DBE.

因为E是AD的中点，

所以AE=DE.

在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE= DE.

所以△AFE≌△DBE(AAS).

所以AF=BD.

又因为BD=DC，

所以AF=DC.

(2)解：四边形ADCF是菱形.证明如下：

因为AF∥BC，AF=DC，

所以四边形ADCF是平行四边形.

因为AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，

所以AD= DC，

所以平行四边形ADCF是菱形.

8、D

9、菱形

10、解答

(1)证明：由题意，知∠FDC=∠DCA=90°，

所以EF∥CA，

所以∠FEA =∠CAE.

因为AF=CE=AE，

所以∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.

在△EAF和△AEC中，

因为∠F=∠ECA.∠FEA=∠CAE,EA=AE,

所以△EAF≌△AEC( AAS)，

所以EF=CA，

所以平行四边形ACEF是平行四边形.

(2)解：当∠B= 30°时，四边形ACEF是菱形，理由如下：

因为∠B=30°，∠ACB=90°，

所以AC=1/2AB.

因为DE垂直平分BC，

所以BE=CE.

又因为AE=CE，

所以CE=1/2AB，

所以AC=CE.

由(1)得四边形ACEF是平行四边形，

所以四边形ACEF是菱形.