代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。下文是小编为大家整理的关于代数数学毕业论文的范文，欢迎大家阅读参考!

代数数学毕业论文篇1

数学代数学习中数形结合思想的运用

摘要：本文从“数系研究”、“函数研究”两个方面出发，提出了对于数形结合思想中研究环境的对应唯一性及其可替代性的具体论证。并且对初中数形结合思想教学中一些特征题型进行分类，本文分为“定义类”、“代数转化图像类”、“图像转化代数类”三类进行论述。最后对于初中数学的数形结合思想教育对于学生数学思维培养的作用进行了阐述。

关键词：数形结合;研究环境;例题类型

在数学的学习中，“数形结合的思想”作为一种数学研究的重要方法，在教育教学的过程中，应该予以着重强调。在数学学习的初级阶段，应该让学生拥有这种思考问题的意识，在解决实际数学问题中能够有意识应用这种研究方法，使一些复杂的代数问题变得简单，使一些抽象的代数问题变得更加直观。作为教师，在课堂中，讲解比较抽象的代数概念时，也应该有意识的应用“数形结合的思想”进行讲解。因此，在实际应用过程中让学生领悟到“数形结合思想”的真正意义所在和使用方法，以至于可以让学生在日常解决问题时使用“数形结合法”时能够融会贯通。

一、对于数形结合法研究环境的探索

在研究“数形结合思想”时，我们必须要首先引入研究的环境。在研究“数系”时，我们引入“数轴”的概念;在研究“函数”时，我们引入“平面直角坐标系”的概念。注意在教育教学过程中，我们必须向学生强调引入全新研究环境的概念，对于“数形结合法”的实践的重要作用――为了让所研究的代数符号，在空间中有具体且唯一的图形概念与之对应。

这就是我们要说的“数轴”与“平面直角坐标系”，下面我分别具体列述它们的意义：“数轴”作为引入“负数”概念的重要理解方法，在浙教版数学教材七年级上册中有具体的涉及。数轴作为一条具有“正方向”、“单位长度”、“原点”三要素的一条特殊的直线，能够清楚的表达数系内的一切有理数。任何代数形式的图像化，具有一个通性，即“代数形式与图形，在相同的研究环境下，有且唯一”，这一通性使数学研究保持其严密性、客观性。而保持这种通性的方法只有完善研究环境。

在有理数系研究中，我们利用数轴作为研究环境。其中“正方向”确定了一组数的大小情况;“原点”，确定了整个数轴在整个有理数系中的相对位置;“单位长度”均分数轴，以此确定每一个数的具体位置。由此，我们可以保证每一个数在数轴中的表示“有且唯一”。且图形统一为落在数轴上的各个点。这种表示方法，满足“代数形式与图形转换”时的“通性”，保证了通过数轴研究有理数系的严密性、客观性。在有关数轴的研究中，我们通常不研究在数轴中的单一的、孤立的数据，通常是一组有限个或者是无限个数据。在研究有限多个数据或无限多个数据时，利用数轴的研究方法具有其优越性。数轴可以利用一串有限多个或无限多个的点、又或是一段线段来直观地表示具有某一特定性质，如在某一特定区间中的数。这种研究方法在集合的运算及不等式运算中应用得相当普遍。

作为研究环境，在满足“数形结合”环境的通性，即“代数形式与图像图形有且唯一的对应”的情况下应该具有其应有的“可替代性”。在代数研究需要的情况下，我们可以重新定义坐标的图形意义。在高中数学中，平面直角坐标系与极坐标系可以发生合理的转换。对于极坐标方程 有特定的平面直角坐标系方程 与之对应。在“原点与极点重合”、“单位长度相等”的情况下，保证两种代数表达法所对应的图像完全重合。表面上是代数形式的种类出现了变化，实际上是研究环境出现了变化，使图像所对应的代数形式更加简便，方便精确的研究。一般的二维平面直角坐标系只能够解决一般的平面图形，对于立体图形我们利用三维空间直角坐标系来进行数形结合。将在空间直角坐标系中的各个点进行代数化，转变成 的三维坐标形式，进行代数形式计算。因此具体的图形计算，在研究环境的帮助下全部可实现代数化。

二、数形结合题型的范例式分类

在利用到“数形结合思想”的题目中，也可以大体的分为几个类型，“定义类”、“代数转化图像类”、“图像转化代数类”。在实际教育教学过程中，应该让学生主观的建立题型的整理能力。在“数形结合法”适用的题型中，我们也应该注意类型的区别，这样在实际的应用中才能够准确地答题。

1、定义类

例如：利用了绝对值的定义，将比较抽象的代数形式，通过基本的定义转化成了比较直观的图形，即线段长度的比较，充分的体现出了“数形结合”的优越性。在教育教学的过程中，我们在引入负数和绝对值概念时，对于数轴的概念必须着重强调。数轴是研究实数系的重要工具，使实数系中的各个数在数轴上有与之唯一对应的图像表示，是数系问题利用“数形结合法”的桥梁。在高中数学，集合的学习中，对于一般形式的集合，我们可以通过韦恩图来数形结合表示集合的相关运算。这种求公共部分的方法，属于求公共部分的原形，是学生理解“数形结合”理念中，图像的交集与代数式形式的交集的第一步。

2、代数转化图像类

例如：在函数的计算中，关键的点坐标是必须抓住的。这是提供学生正确的函数解析式的第一步。而这些点的获取一般我们可以通过研究函数解析式的方法得到，如“连列解析式求交点”等，但是这种一般的方法对于代数计算量的要求往往是极大的。在这种情况下，往往可以从“数形结合法”得到突破。学生们可以暂时脱离函数的大框架，对于关键点进行几何的定位，求得一些边长来作为关键点的横纵坐标，再联系函数解析式轻松解得关键点的坐标。

3、图像转化代数类

例如：在实际的解题过程中，我们可以将复杂的几何问题，通过设定适当的研究环境(建系)，来求的具体的数值。

在一般的几何知识是不可能求得的情况下，我们不得不联系函数知识进行求解。首先一步我们必须设定合适的研究环境，即建立合适的“平面直角坐标系”。这一步骤的意义是让具体的函数图像在在这个研究环境下具有其代数意义，可以在这个直角坐标系的定义下列出其方便求解未知量的函数解析式。由于研究环境具有其可替代性，因此建系的不同不会影响到求解结果。建立一个适合与自己求解未知量的坐标系，是学生应该掌握的一项本领。应该由自己在平时的题目训练中总结得出，教师可以对一些一般的图形情况作适当讲解。

代数数学毕业论文篇2

从代数发展看数学教育

摘要： 本文通过对代数学发展的几个阶段、特点及相关数学家生平的简介，使读者从宏观上认识代数学的整体结构，形成数学思想观念和科学探索信念的精神，从而使数学融入人的整体素质。

关键词： 代数 发展史 数学 教育价值

数学是一门有悠久历史的学科，其是在不同地方先后独立产生的，早在两千年前就有了专门著作(如中国的《九章算术》、古希腊的《几何原本》)。而代数作为数学的一个分支，伴随着数学的发展，经过漫长的过程才逐渐形成现代代数学科，并在现实生产生活中发挥着巨大的作用。下面我们通过阐述代数的发展历史，使大家从宏观上认识代数学的整体结构，进而扩大我们的视野，形成数学思想观念和科学探索信念的精神，从而有助于我们了解数学的教育价值，使大家更加喜欢数学，不仅鼓励自己学习数学，还乐于鼓励别人学习数学。

一、代数发展的四个阶段

(一)17世纪以前的代数

17世纪以前的代数，谈不上真正意义上的代数。应该说17世纪以前的代数发展主要进程是：记数符号，算术运算(代表作为中国的《九章算术》)、几何上的经验公式，古希腊的演绎推理(代表作为希腊的《几何原本》)等，至17世纪初完成了初等代数的主体部分――代数方程。在这一阶段，第一次系统地提出代数符号的是丢番图(希腊化了的巴比伦人)。

他在《算术》这部著作中，摆脱了古典时期几何代数法的束缚，出现了代数转向算术运算的趋势，成为字母运算方式的开端，开始出现了与方程有关的代数问题。在其墓志铭中就是一个妙趣横生的一元一次方程问题：“过路人!这里埋葬着丢番图，他的童年占一生的1/6，过了1/12以后他开始长胡子，再过1/7以后结了婚，婚后5年得子，可惜儿子只活到父亲年龄的一半，丧子4年以后老人也度完了风烛残年。”(答案为84岁。)

但将代数作为一门独立的学科提出的是阿拉伯人，第一部代数著作是阿拉伯人花拉子模的《代数学》(约公元780-850年)，后经翻译成拉丁文正式取名为“Algebra”(14世纪时)。这部著作虽然不使用字母符号，而且用文字语言叙述，但其所阐述的问题具有一般性。全书逻辑严密，系统性强，易学易懂，不仅讲理论，还讲应用，提出了一元一次和一元二次方程的一般解法，并把解方程求未知量叫做求根。现在解方程的两种基本变换“移项”和“合并用类项”就源于花拉子模的“还原”和“对消”两种方法。《代数学》后来被译成拉丁文，成为欧洲沿用了几个世纪的代数学标准教材。因此，有人称他为“代数学之父”，可见这部著作对现代初等数学的巨大影响。

17世纪以前的代数主要是言辞代数(相当于现在中、小学的应用题)，直到公元1637年才由法国的笛卡尔提出缩写的代数符号方程：3X -5X+6=0。在这一阶段，中国数学一直处于世界的领先地位。

(二)17世纪和18世纪的代数

这一阶段，欧洲的资本主义工业蓬勃发展，有力地促进了机械学、力学的发展，引起了宗教改革和政治变革，促进了思想的大解放和文化、艺术、科学的大发展，给数学的发展提供了强有力的推动力。欧洲数学开始走出中世纪的黑夜，孕育出了数学的新时代，使数学得到快速发展。这一阶段的数学发展有三大特色。(这一时期后，中国数学的发展已被远远抛到西方之后。)

1.产生了一系列新的领域，如解析几何(笛卡尔)、微积分(牛顿-莱布尼兹)、概率论、数论等，是科学发展的新阶段;

2.出现了代数化的趋势，代数比几何占有更加重要的位置，并进一步向符号代数转化;

3.创造了大量的新概念，使数学进一步抽象化。

作为这一阶段的代数学，确立了以解方程为中心的初等代数，并建立了一套有效的符号体系，从言辞代数转化为符号代数。如这一时期，法国数学家韦达比较全面地提出了根与方程系数的关系(韦达定理);日本数学家关孝和提出了行列式等。特别到了18世纪，法国数学家范德蒙将行列式作为一个专门理论进行研究，并对解线性方程组起到了重要作用。

在这一阶段的解多项式方程和解线性方程组为以后建立抽象代数和高等代数学奠定了基础。

“方程”一词首先出现在《九章算术》方程章。对于一元一次、二次方程的一般解法早已解决，对于三次、四次方程的求解方法也伴随着人们对数的认识(N、Z、Q、R、C)过程而逐渐得到。对方程的求解是指以该方程的系数有限次加、减、乘、除及开方运算用公式形式表达出其解。下面简要介绍三次方程的一般公式解表达式(一次、二次不言而喻)的推导。

不访设x +ax +bx+c=0

令x=y ，则原方程化为(仍以x为未知数)x +qx+p=0。

再令x=y ，

得y +py -( ) =0。

令Φ=y ，

得Φ -pΦ- q =0(此一元二次方程称为拉格朗日预解式)。

从而得到原三次方程的三个根分别是：

x = +

x =ε +ε(这里1+ε+ε =0，ε =1)

x =ε+ε

这一公式也称卡丹公式，是由卡丹(米兰有名的医生和学者，也是一个赌徒)在其数学专著《大术》中公开于众的。它其实是由自学成才的意大利数学家塔塔利亚首先给出了。1732年，欧拉全面研究了卡丹的工作后，强调三次方程有三个根。至此三次方程的求根公式的探索工作才圆满完成。在卡丹的《大术》中还载有他的学生费拉面发现的四次方程的求根公式(也是通过变形，巧妙假设换元而解得)。

就此，对于四次以上的方程，是否也有类似的公式解?(求根只须代入公式即可)。1799年，杰出的数学家高斯(数学王子)作出了重要进步。在其博士论文中发表了代数基本定理及其证明(n次方程在c内有n个根)，整体上解决了根的存在性问题。高斯是近代最杰出的数学家，对近代数学起了奠基作用，其历史上的影响可以与牛顿并列。当时高斯进入大学时，还没有立志专攻数学，但听了数学教授卡斯特纳的讲授之后，高斯决定研究数学，卡斯特的本人并没有多少数学业绩，但他培养高斯的成功，足以说明一名好的教师同样重要。(2000年11月15日参考消息•《数学天才去逝，辉煌硕果仍存》)

因此，这更使得人们极力想解决根的表达问题。

(三)19世纪的代数

这一时期的代数，一是由解线性方程级产生了矩阵理论。矩阵是由英国数学家西尔维斯特提出，英国数学凯雷确立其为一个独立的数学概念，建立了系统的矩阵理论，从而以矩阵理论为中心的线性代数理论产生。二是由方程求根产生了抽象代数可以说是代数发展极为辉煌的一页，是19世纪数学上最突出的成就之一。但其中涉及的两个人其命运却极为悲惨：一个是挪威数学家阿贝尔(公元1802-1829年)，仅在世27年;一个是法国数学家伽罗瓦(公元1811-1832年)，仅在世20年零7个月。

1801年高斯发表文章证明了分圆方程x -1=0(p是素数)可用根式解，但对一般的高次方程是否有根式解仍然没有解决。19世纪上半叶，阿贝尔在高斯的基础上，研究了五次及以上方程的求解问题，证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。但他发现了一类能用根式求解的特殊方程，这类方程人们称之为阿贝尔方程。因此，阿贝尔试图寻求可用根式求解的一般特性，可惜阿贝尔在27岁那年就因贫困交迫而英年早逝(后人评价其产生的“丰富思想可以使数学家忙碌五百年”)。历史重任交给了伽罗瓦，伽罗瓦活得比阿尔更短，死得比阿贝尔更惨。然而其通霄达旦疾书自己的80页数学手稿却完成了历史的使命，开创了一门新的分支――群论，人们把由伽罗瓦提出而发展起来的一整套理论称为伽罗瓦理论。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

群是一种数学结构，在许多数学对象和日常生活中都会遇到，定义如下：

设G是一个非空集合，其上的元素之间定义有运算?堠。如果G还满足：①存在单位元e，使得对任何x∈G，都有x?堠e=e?堠x=x，②对任何x∈G，都有逆元x 存在，使得x ?堠x=x?堠x =e则称G是一个群。

整数全体关于+(加法)运算构成群，单位元是零，每个元a都有逆元-a。

伽罗瓦的成果可以说连当时最伟大的数学家都难以理解(创立了新的代数结构)。但这个理论却可以解决五次及以上的一般代数方程根式不可解的一般特性(哪些可根式解，哪些不可根式解)，以及用尺、规三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗瓦的功绩可以说是为方程的根式求解理论作出了伟大的贡献，更是以一种崭新的数学结构来观察数学，为人类的思考提供了新的思维模式，把数学的研究内容从数、式扩大到结构，使数学的研究进入了全新领域，使代数以方程为中心的古典代数转变为以研究各种代数结构及其性质为中心的近世代(抽象)代数理论。

(四)20世纪的代数

自进入20世纪以来，科学技术不断出现重大的发明和创造，原子能、计算机、空间技术、分子生物代数、高能物理及生命工程等，如雨后春笋般地涌现出来，一场规模宏大、影响深远的新技术革命改变了世界。与此相适应的数学也得到了前所未有的大发展，形成了许许多多的数学分支，特别是20世纪初希尔伯特公理化方式和形式主义几乎给20世纪的每一门数学学科打上了烙印。20世纪代数的许多新概念最后几乎是以公理化方式给出的。

对伽罗瓦开创的群论，1921年德国著名的女数学家E•诺特给出了环论，标志着抽象代数现代化的开端，因而被誉为“现代数学代数化的伟大先行者”，“抽象代数之母”。诺特是一位卓越的学者，外表很是敦厚，但思路敏捷。通过诺特的成就，说明妇女在数学的成就(天才)不应输于男人，但为什么女数学家很少，数学月刊上有这样结论：一、在中小学生中男女学生对数学的喜爱程度是一样的;二、教师和家长的态度是不鼓励女孩子学数学的;三、数学仍然是排挤妇女的筛子;四、在长期聘用的大学数学教授中，妇女只占1.6%(8：490)。外部环境造成妇女通往数学的道路是艰难曲折的，但就数学天份而言应该说是“巾帼不让须眉”。美国的伯克霍夫创立了格论，所有这些如群、环、域、格等都是一个或若干个给定的非空集合，在赋予了若干个代数运算并加上若干个公理体系之后而成为某种代数系统，从而具备了某种代数结构。像这样的代数系统，全世界目前有200多种，它们不考虑具体的研究对象是什么，只要对象满足公理组或定义的要求就行(有些在物理空间结构能找出其应用的范围)。

计算机科学的发展，带来了应用计算机解决代数问题的可能。如：随着计算机性能迅速提高，许多过去被专业数学工作者认为望尘莫及之事，像数值解数千个甚至数万个未知数线性方程组，现在甚至可以请不太懂高深数学理论的人使用现成软件而计算出来，从而产生了主要探讨代数学中利用计算机可计算问题的全新学科――计算机代数学。可以说，20世纪的代数，特别是最近十几年，已经产生许多新的分支，包括了代数自身的分支以及与数学其它学科的交叉分支，无论研究对象、研究方法及手段都已不是过去世纪所能比拟的。

20世纪初期，人们对代数的研究主要是在各自代数系统中进行，以研究代数结构及某性质为中心任务。到了20世纪中叶，人们发现这些代数系统有许多“共性”，如集合论研究集合与映射，群论研究群和群同态等，就想用某种通用的方法加以统一，将所述的对象及对象之间的关系构成一个总体，这就是范畴的思想。这种方法，对解决带有共性的问题时起到了重要作用，同时反过来又促进了代数学的向前发展。但范畴方法并不能解决代数系统中的所有问题，只能是一种研究方法而已。

20世纪末，人类进了信息技术时代。这个时代由于广泛应用计算机，使高新工程技术，如纳米技术、基因工程不断涌现。计算机技术是高新技术工程的核心领域，而计算机软件理论基础则完全是数学，应该说数学是应用计算机的桥梁和媒介。同时，这些新技术都要建立在相应的数学基础上，因此数学是发展高新技术所需要的一门关键学科。由于数学把抽象空间形式、数量关系和结构关系作为自己的研究对象，因此它的理论和方法必然伸入到其他学科理论的核心，成为表达各种自然界和人类社会发展定量化规律性的关键工具，从而数学正从自然科学中分离出来，而成为与自然科学并列的一门科学或技术。相互交流、共同合作更加适合新时期的数学研究，对代数研究也同样包括。

二、从代数发展看数学的教育价值

1.代数发展特点

代数发展是从言辞代数逐渐发展成符号代数，使得数学表达简洁明了，这一进步极大促进数学向前发展。有人认为中国传统数学之所以未能发扬光大，在近现代不能跟上世界的发展潮流，过多使用文字叙述是其原因之一。如清代中国用天地人物表示未知数x、y、z、w，对方程的表示：

例： = ，求天之同数，与 = ，求x，相对较而言极为复杂，从而极大地妨碍了中国代数学发展。

继承和发展前人工作是代数发展的一条普遍规律，如解决高次方程的求解问题从而产生了深刻的现代数学方法，为20世纪代数研究带来了全新面貌。

公理化方法在促进抽象代数的发展起到巨大的作用。形式化公理方法不仅推动了数学基础研究，还促进了现代算法论研究，从而为数学的应用特别是应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。

数学与大众的距离似乎越来越远，但数学与现代科学的联系却越来越紧密，这种反差现象，也同样反映在代数学科中。人们实际上都在使用着数学，但却轻视数学，特别因代数的“抽象”而敬而远之。

2.数学教育的价值及经验教训

代数教育是数学教育的一部分，从代数教育的目的看，除了培养学生代数研究能力及代数知识积累外，更应注意促进数学思想方法的形成。从数学发展角度看，代数发展是一条非常清晰的脉络，从中可以揭示出主要的数学思想方法，从而使学生经过训练掌握数学思想方法，并获得数学文化素养。

数学哺育学生科学的思维方法及现代文化素养具体表现在：①数学的基础知识和基本方法成为其它科学文化知识的基础。②通过培养人们的科学思维方法，引发人的直觉思维、抽象思维、形象思维以及培养严格的逻辑推理和精确计算能力。③对培养人们语言表达的准确性和逻辑性有重大意义，数学语言可以说是最简单明了又是最严格的语言。④大大有助于培养人认识和理解哲学，数学理论和方法充满着唯物论和辩证法的思维，数学还像音乐、美术一样是自然界和谐美的高度体现。

教育要面向未来，面向现代化。因此，我们要吸取上世纪50、60年代“新数”运动和70年代矫枉过正的“回到基础”教育的经验与教训，提出素质教育和大众数学，使现代数学教育内容趋向于按“广而浅”来安排，摈弃过去片面追求解题技巧和形式完整的弊病，使数学本质思想容易被大部分人接受，使各级各类人才均有良好的数学素质，对数学的需要程度有所区别，使我国具有高素质的数学理论修养和现代技术相结合的技术人员，从而在经济和科技的全球竞争中立于不败之地。

参考文献：

[1]李迪.中外数学史教程.福建教育出版社，1997.

[2]张奠宙主编.数学史选讲.上海科学技术出版社，1998.

[3]梁镜清.小学数学教育学.浙江教育出版社，1993.

[4]章士藻.中学数学教育学.江苏教育出版社，1991.

[5]张奠宙等.数学教育学.江西教育出版社，1997.

[6]郑毓信.数学方法论.广西教育出版社，1999.

[7]庄兴无.面向新世纪的数学和数学教育，福建高教研究，1997.

[8]徐利治.对新世纪数学发展趋势的一些展望.高等数学研究，2001，(3).