充分条件和必要条件是数学的重要概念,同时因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是小编给大家带来的广东高一数学充分条件与必要条件知识点，希望对你有帮助。

数学充分条件与必要条件知识点

一、充分条件和必要条件

当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法

1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可

2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

若A⊆B，则p是q的充分条件。

若A⊇B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;

(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;

(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

数学充分条件与必要条件内容练习及解析

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.使x>1成立的一个必要条件是( )

A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2

【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.

2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )

A.0<x<2B.-1<x<1

C. <x< D. <x<2

【解析】选C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C中由 <x< 可以推出0<x<1,其余均不可,故选C.

3.下列p是q的必要条件的是( )

A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1

C.p:a<b,q:a <b+1D.p:a>b,q:a>b+1

【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.

4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( )

①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;

③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.

A.1B.2C.3D.4

【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.

【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;

②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;

③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;

④由于p:直线a,b不相交 q:a∥b,所以p不是q的充分条件.

5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是 <x< ,则实数a的取值范围是( )

A. <a< B. ≤a≤

C.a> 或a< D.a≥ 或a≤

【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,

由题意知 (a-1,a+1),

则有 且等号不同时成立,

解得 ≤a≤ ,故选B.

【变式训练】集合A= ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是 _____________.

【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范围是-2<b<2.

答案:(-2,2)

6.已知等比数列{an}的公比为q,则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是

( )

①a1<a2;②a1>0,q>1;③a1>0,0<q<1;④a1<0,0<q<1.

A.①②B.①③C.③④D.①③④

【解析】选B.由等比数列{an}是递增数列⇔an<an+1⇔a1qn-1<a1qn⇔a1qn-1(1-q)<0,

若a1>0,则qn-1(1-q)<0,得q>1;

若a1<0,则qn-1(1-q)>0,得0<q<1.

所以等比数列{an}是递增数列⇔a1>0,q>1或a1<0,0<q<1.

所以a1>0,q>1⇒等比数列{an}是递增数列,

或a1<0,0<q<1⇒等比数列{an}是递增数列;

由a1<a2不能推出等比数列{an}是递增数列,如a1=-1,a2=2.

【举一反三】若把本题中的“不是{an}为递增数列的充分条件”改为“是{an}为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?

【解析】由等比数列{an}是递增数列⇒a1<a2.

由等比数列{an}是递增数列 a1>0,q>1,

由等比数列{an}是递增数列 a1>0,0<q<1,

由等比数列{an}是递增数列 a1<0,0<q<1.

故a1<a2是{an}为递增数列的必要条件.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.“lgx>lgy”是“ > ”的 条件.

【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒ > .而 > 有可能出现x>0,y=0的情况,故 > lgx>lgy.

答案:充分

【变式训练】“x>y”是“lgx>lgy”的 条件.

【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y<x<0,

lgx与lgy无意义,而lgx>lgy⇒x>y.

答案:必要

8.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是 _________.

【解析】由于f(x)=a- 定义域为R,且为奇函数,

则必有f(0)=0,即a- =0,所以a=1.

答案:a=1

9.(2014•广州高二检测)满足tanα=1的一个充分条件是α= (填一角即可)

【解析】由于tanα=1,故α=kπ+ (k∈Z),

取α= ,显然,α= 是tanα=1的一个充分条件.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.

(1)p:sinθ=0,q:θ=0.

(2)p:θ=π,q:tanθ=0.

(3)p:a是整数,q:a是自然数.

(4)p:a是素数,q:a不是偶数.

【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,

所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.

(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,

所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.

(3)由于p:a是整数 q:a是自然数,

p:a是整数⇐q:a是自然数,

所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.

(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,

所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.

11.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p是q的什么条件?

【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.

若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,

则x1+x2=-a,x1x2=b.

于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.

所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.

【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以

即 ⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.不等式1- >0成立的充分条件是( )

A.x>1B.x>-1

C.x<-1或0<x<1D.x<0或x>1

【解析】选A.不等式1- >0等价于 >0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,故选A.

2.(2014•青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是

( )

A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1

【解析】选D.因为函数y=x2+bx+ c在[0,+∞)上单调,所以x=- ≤0,即b≥0,

显然b≥0⇒b>-1,故选D.

【举一反三】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是( )

A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1

【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.

3.(2014•兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( B)的既是充分条件,又是必要条件的是( )

A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5

C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5

【解析】选A.因为P∈A∩( B),

所以P∈A且P∉B,所以

所以 故选A.

4.(2014•天津高二检测)设a,b为向量,则“a•b=|a||b|”是“a∥b”的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选A.若a,b中有零向量,则a•b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中无零向量,则设a,b的夹角为θ,a•b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a∥b,故有a•b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,则有a•b=|a||b|或a•b=-|a||b|,

故“a•b=|a||b|”是“a∥b”的充分条件.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如果命题“若A ,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的 条件.

【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,

又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,

所以A是B的必要条件.

答案:必要

6.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是 ____________.

【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,

所以|a|=5的一个充分条 件是x=4(或x=-4).

答案:x=4(或x=-4)

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.已知p:x 2-2x-3<0,若- a<x-1<a是p的一个必要条件但不是充分条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.

【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,

-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).

依题意,得{x|-1<x<3} {x|1-a<x<1+a}(a>0),

所以 解得a>2,

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,

即(-∞,2].

8.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.

【解析】因为p是q的充分条件,

所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥ 恒成立,

又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,

所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.