在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6

二、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a。

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)<x1。

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< x2。

解题思路：

本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图像法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时, x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)

根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0