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八年级下册数学第17章反比例函数与三角形测试卷及参考答案

一、反比例函数与等腰三角形结合

试题1、(2015常州)如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.

(1)若点P的坐标是(1，4)，直接写出k的值和△PAB的面积;

(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形;

(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由.

【解答】解：(1)k=4，S△PAB=15.

提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，

设AP与y轴交于点C，如图1，

把x=4代入y= x，得到点B的坐标为(4，1)，

把点B(4，1)代入y= ，得k=4.

解方程组 ，得到点A的坐标为(﹣4，﹣1)，

则点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP.

设直线AP的解析式为y=mx+n，

把点A(﹣4，﹣1)、P(1，4)代入y=mx+n，

求得直线AP的解析式为y=x+3，

则点C的坐标(0，3)，OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OCAR+ OCPS

= ×3×4+ ×3×1= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15;

(2)过点P作PH⊥x轴于H，如图2.

B(4，1)，则反比例函数解析式为y= ，

设P(m， )，直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，

联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，

联立 ，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，

∴M(m﹣4，0)，N(m+4，0)，

∴H(m，0)，

∴MH=m﹣(m﹣4)=4，NH=m+4﹣m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形;

(3)∠PAQ=∠PBQ.

理由如下：

过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3.

可设点Q为(c， )，直线AQ的解析式为y=px+q，则有

，

解得： ，

∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.

当y=0时， x+ ﹣1=0，

解得：x=c﹣4，

∴D(c﹣4，0).

同理可得E(c+4，0)，

∴DT=c﹣(c﹣4)=4，ET=c+4﹣c=4，

∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE，

∴QD=QE，

∴∠QDE=∠QED.

∵∠MDA=∠QDE，

∴∠MDA=∠QED.

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM.

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，

∴∠PAQ=∠PBQ.

试题2、(2016黄冈校级自主招生)如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是(0，2)，点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标.

【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

设C1(x，2x)，则得x2+(2x﹣2)2=22，

解得 ，得C1( )，

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2，

设C2(x′，2x′)，则得x′2+(2x′)2=22，解得 = ，

∴C2( )，

又由点C3与点C2关于原点对称，得C3( )，

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为 ，得C4( )，

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：( )，( )，( )，C4( ).

试题3、(2011广西来宾，23，10分)已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A(1，4)和B(m, -2).

(1)求这两个函数的关系式.

(2)如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积。

(3)点P是X轴上的动点，△AOP是等腰三角形，求点P的坐标。

二、反比例函数与等边三角形结合

试题1、如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 (﹣1，2) .

解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，

∴x=0时，得y=4，∴B(0，4).

∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，

∴C在线段OB的垂直平分线上，

∴C点纵坐标为2.

将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1.

故答案为：(﹣1，2).

试题2、(2015黄冈校级自主招生)如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 (x>0)上，则图中S△OBP=( )

A. B. C. D.4

【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，

∴∠AOB=∠CAD=60°，

∴AD∥OB，

∴S△ABP=S△AOP，

∴S△OBP=S△AOB，

过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE= S△AOB，

∵点B在反比例函数y= 的图象上，

∴S△OBE= ×4=2，

∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4.

故选D.

试题3、(2013黄冈模拟)如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数 的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是( )

A.( ，0) B.( ，0) C.( ，0) D.( ，0)

【解答】解：(1)根据等腰直角三角形的性质，可设点P1(a，a)，

又y= ，

则a2=4，a=±2(负值舍去)，

再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是(4，0)，

设点P2的坐标是(4+b，b)，又y= ，则b(4+b)=4，

即b2+4b﹣4=0，

又∵b>0，∴b=2 ﹣2，

再根据等腰三角形的三线合一，

∴4+2b=4+4 ﹣4=4 ，

∴点A2的坐标是(4 ，0).

故选C.

三、反比例函数与直角三角形结合

试题1、(2015大连模拟)如图，以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，C为AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合，并绕点C旋转，直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F.

(1)如图1，当∠ABO=45°时，请直接写出线段CE与CF的数量关系： CE=CF .

(2)如图2，当∠ABO=30°时，请直接写出CE与CF的数量关系： FC= EC .

(3)当∠ABO=α时，猜想CE与CF的数量关系(用含有α的式子表示)，并结合图2证明你的猜想.

(4)若OA=6，OB=8，D为△AOB的内心，结合图3，判断D是否在双曲线y= 上，说明理由.

【解答】解：(1)如图1，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，

∴四边形OFCE共圆，

∵∠ABO=45°，C为AB的中点，

∴∠EOC=∠FOC=45°，

∴CE=CF，

故答案为：CE=CF.

(2)如图2，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，

∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，

∵∠ABO=30°，C为AB的中点，

∴∠BOC=30°，

∴∠FOC=60°，可得∠FGP=60°，

∴FC=2FP= r，

同理可得EC=r，

∴FC= EC.

故答案为：FC= EC.

(3))如图2，连接OC，

∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，

∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF，

∵∠ABO=α，C为AB的中点，

∴∠BOC=α，

∴∠FOC=90°﹣α，可得∠FGP=90°﹣α，

∴FC=2FP=2rsin(90°﹣α)，

同理可得EC=2rsinα，

∴FC：EC=sin(90°﹣α)：sinα，

∴FC= EC.

(4)如图3，

∵OA=6，OB=8，

∴AB= = =10，

设OC为x，AC=6﹣x，

∵D为△AOB的内心，

∴OE=x，BE=8﹣x，

∴8﹣x+6﹣x=10，

∴x=2，

∴点D(2，2).代入双曲线y= 不成立，

∴D不在双曲线y= 上，

四、反比例函数与等腰直角三角形结合

试题1、如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是( )

A. C.

解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为(1，0)，

∵△OA1B1是等腰直角三角形，

∴A1B1=1，∴B1(1，1)，

∵△B1A1A2是等腰直角三角形，

∴A1A2=1，B1A2= ，

∵△B2B1A2为等腰直角三角形，

∴A2A3=2，∴B2(2，2)，

同理可得，B3(22，22)，B4(23，23)，…Bn(2n﹣1，2n﹣1)，

∴点B2015的坐标是(22014，22014).

故选：A.

试题2、(2015仪征市一模)如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 y=﹣ .

【解答】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，

设A点坐标为(a， )，

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OC=OA，OC⊥OA，

∴∠DOC+∠AOE=90°，

∵∠DOC+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠AOE，

∵在△COD和△OAE中

∴△COD≌△OAE(AAS)，

∴OD=AE= ，CD=OE=a，

∴C点坐标为(﹣ ，a)，

∵﹣ a=﹣4，

∴点C在反比例函数y=﹣ 图象上.

故答案为y=﹣ .

试题2、(2015潮阳区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE.若OD=5，tan∠COD= .

(1)求过点D的反比例函数的解析式;

(2)求△DBE的面积;

(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形?若存在，请直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)∵四边形OABC是矩形，

∴BC=OA，AB=OC，

∵tan∠COD= ，

∴设OC=3x，CD=4x，

∴OD=5x=5，

∴x=1，

∴OC=3，CD=4，

∴D(4，3)，

设过点D的反比例函数的解析式为：y= ，

∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y= ;

(2)∵点D是BC的中点，

∴B(8，3)，

∴BC=8，AB=3，

∵E点在过点D的反比例函数图象上，

∴E(8， )，

∴S△DBE= BDBE= =3;

(3)存在，

∵△OPD为直角三角形，

∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，

∴OP=4，

∴P(4，0)，

当∠ODP=90°时，

如图，过D作DH⊥x轴于H，

∴OD2=OHOP，

∴OP= = .

∴P( ，O)，

∴存在点P使△OPD为直角三角形，

∴P(4，O)，( ，O).

试题3、(2015历下区模拟)如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A(﹣2，0)、B(0，d)、C(﹣3，2).

(1)求d的值;

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式;

(3)在(2)的条件下，直线B′C′交y轴于点G，作C′M⊥x轴于M.P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标.

【解答】解：(1)作CN⊥x轴于点N.

在Rt△CNA和Rt△AOB中，

，

∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)，

则BO=AN=3﹣2=1，

∴d=1;

(2)设反比例函数为y= ，点C′和B′在该比例函数图象上，

设C′(a，2)，则B′(a+3，1)

把点C′和B′的坐标分别代入y= ，得k=2a;k=a+3，

∴2a=a+3，a=3，

则k=6，反比例函数解析式为y= .

得点C′(3，2);B′(6，1);

设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得 ，

解得： ;

∴直线C′B′的解析式为：y=﹣ ;

(3)连结BB′

∵B(0，1)，B′(6，1)，

∴BB′∥x轴，

设P(m， )，作PQ⊥C′M，PH⊥BB′

∴S△PC’M= ×PQ×C′M= ×(m﹣3)×2=m﹣3

S△PBB’= ×PH×BB′= ×( )×6=﹣m+6

∴m﹣3=﹣m+6

∴m=

∴P( ， ).

试题4、(2015泰州校级一模)已知点A(m、n)是反比例函数 (x>0)的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，P是y轴上一点，

(1)求△PAB的面积;

(2)当△PAB为等腰直角三角形时，求点A的坐标;

(3)若∠APB=90°，求m的取值范围.

【解答】解：(1)连接OA，

∵AB⊥x轴，

∴AB∥y轴，

∴S△PAB=S△POB，

∵点A(m、n)是反比例函数 (x>0)的图象上一点，

∴S△PAB=S△POB=2;

(2)若∠ABP=90°，则AB=OB，

则m=n，

∴m= ，

∵x>0，

∴m=2，

∴点A(2，2);

若∠PAB=90°，则PA=AB，同理可得点A(2，2);

若∠APB=90°，则AP=BP，

过点P作PC⊥AB于点C，则AC=BC=PC，

则点A(m，2m)，

∴2m= ，

∵x>0，

∴m= ，

∴点A( ，2 );

综上，点A的坐标为：(2，2)或( ，2 );

(3)∵∠APB=90°，

∴点P是以AB为直径的圆与y轴的交点，

由(2)可知当x= 时，以AB为直径的圆与y轴相切，当x> 时，以AB为直径的圆与y轴相离，

∴m的取值范围为：0

五、反比例函数与全等三角形结合

试题1、2015韶关模拟)如图，点A(2，2)在双曲线y1= (x>0)上，点C在双曲线y2=﹣ (x<0)上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上.

(1)求k的值;

(2)求证：△BCE≌△ABF;

(3)求直线BD的解析式.

【解答】(1)解：把点A(2，2)代入y1= ，

得：2= ，

∴k=4;

(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，

∴∠EBC+∠ABF=90°，

∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，

∴∠CEB=∠BFA=90°，

∴∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠BCE=∠ABF，

在△BCE和△ABF中，

，

∴△BCE≌△ABF(AAS);

(3)解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：

则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，

由(2)得：△BCE≌△ABF，

∴BE=AF=2，CE=BF，

设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，

∴OE=CE，

∴点C的坐标为：(﹣x﹣2，x+2)，

代入双曲线y2=﹣ (x<0)得：﹣(x+2)2=﹣9，

解得：x=1，或x=﹣5(不合题意，舍去)，

∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，

∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B(﹣1，0)，AG=5，

在Rt△BOD和Rt△CGA中，

，

∴Rt△BOD≌Rt△CGA(HL)，

∴OD=AG=5，

∴D(0，5)，

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

把B(﹣1，0)，D(0，5)代入得： ，

解得：k=5，b=5.

∴直线BD的解析式为：y=5x+5.

试题2、(2015历城区二模)如图，一条直线与反比例函数y= 的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x轴交于点D，AC⊥x轴，垂足为C.

(1)求反比例函数的解析式及D点的坐标;

(2)点P是线段AD的中点，点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，到点A，C时停止运动，设运动的时间为t(s).

①求证：PE=PF.

②若△PEF的面积为S，求S的最小值.

【解答】(1)解：把点A(1，4)代入y= 得：k=4，

∴反比例函数的解析式为：y= ;

把点B(4，n)代入得：n=1，

∴B(4，1)

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b得： ，

解得：k=﹣1，b=5，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5，

当y=0时，x=5，

∴D点坐标为：(5，0);

(2)①证明：∵A(1，4)，C(1，0 )，D(5，0)，AC⊥x轴于C，

∴AC=CD=4，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠ADC=45°，

∵P为AD中点，

∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，

∴∠ADC=∠ACP，

∵点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，

∴EC=DF，

在△ECP和△FDP中， ，

∴△ECP≌△FDP(SAS)，

∴PE=PF;

②解：∵△ECP≌△FDP，

∴∠EPC=∠FPD，

∴∠EPF=∠CPD=90°，

∴△PEF为等腰直角三角形，

∴△PEF的面积S= PE2，

∴△PEF的面积最小时，EP最小，

∵当PE⊥AC时，PE最小，

此时EP最小值= CD=2，

∴△PEF的面积S的最小值= ×22=2.

试题3、(2015春淮阴区期末)已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t.

(1)求出该反比例函数解析式;

(2)连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标;

(3)用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值.

【解答】解：(1)∵正方形ABCD的边长为4，

∴C的坐标为(4，4)，

设反比例解析式为y=

将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y= ; (2分)

(2)当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，

∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t= ，

则DQ=4t= ，即Q1( ，4);

当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，

∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t= ，

则QB=8﹣4t= ，此时Q2(4， );

若Q在下边，则△APD≌△BQA，

则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t= ，

则QB= ，即Q3(4， );

当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，

∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t= ，

因为0≤t≤ ，所以舍去.

综上所述Q1( ，4); Q2(4， )，Q3(4， )

(3)当0

当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，

则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣ APAD﹣ PBBQ﹣ DCCQ=16﹣ t×4﹣ (4﹣t)【4﹣(4t﹣4)}﹣ ×4(4t﹣4)═﹣2t2+2t+8